Геометрические фигуры их свойства и признаки. Признаки, свойства и определения. Точка в Евклидовой геометрии

Багдасаева Виктория Владимировна

Цель работы: систематизация и обобщение материала. Некоторые интересные факты и забытые формулы.

Скачать:

Подписи к слайдам:

Слайд 1
Геометрические фигуры и их свойства Работу выполнила Багдасаева Виктория Ученица 10 Б класса

Слайд 2
Цель: систематизация знаний, обобщение материала.

Слайд 3
Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности. Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур. Геометрия

Слайд 4
Точка В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике. Точка - это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.

Слайд 5
Прямая Прямая - одно из основных понятий геометрии. Геометрическая прямая (прямая линия) - незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку. Свойства: Через две точки можно провести единственную прямую. Две прямые могут пересекаться только в одной точке. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.

Слайд 6
Отрезок Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Свойства измерения отрезка: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой. Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB . При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Два отрезка называются равными, если равны их длины.

Слайд 7
Ломаная линия Ломаная линия - это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка - началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.

Слайд 8
Л уч Луч (полупрямая) – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от этой точки и включая эту точку. Эта точка называется начальной точкой полупрямой (луча). Обозначается луч двумя точками: начальной точкой и какой-либо точкой на этом луче. Из одной точки можно провести бесчисленное множество лучей. На луче можно отложить еще точку, кроме вершины луча, которая будет принадлежать отрезку, лежащему на этом луче.

Слайд 9
Угол Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки. Угол – это геометрическая фигура, имеющая вершину, стороны и свою градусную меру. Углы измеряются в градусах и радианах. Виды углов Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. Острый угол - градусная мера от 0 до 90 градусов Прямой угол - градусная мера 90 градусов Тупой угол - градусная мера больше 90 градусов

Слайд 10
Параллелограмм Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Свойства параллелограмма: 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны. 2. В параллелограмме сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °. 3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 4. Диагонали параллелограмма делят его на две равные треугольники. Признаки параллелограмма: 1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм. 4. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

Слайд 11
Основные формулы

Слайд 12
Прямоугольник Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Свойства прямоугольника: 1. Противоположные стороны прямоугольника равны. 2. Все углы прямоугольника прямые. 3. Диагонали прямоугольника равны. 4. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 5. Диагонали прямоугольника делят его на два равных треугольника. 6. В прямоугольника сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °. Признаки прямоугольника: 1. Если в параллелограмме все углы равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 2. Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником. 3. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 4. Если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником. 5. Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Слайд 13
Формулы Формулы определения длин сторон прямоугольника: 1. Формула стороны прямоугольника через диагональ и другую сторону: 2 . Формула стороны прямоугольника через площадь и другую сторону: 3. Формула стороны прямоугольника через периметр и другую сторону: 4. Формула стороны прямоугольника через диаметр и угол α: a= dsin α b= dcos α

Слайд 14
Квадрат Квадра́т - правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны. С войства квадрата: Все углы квадрата - прямые, все стороны квадрата - равны. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. Диагонали квадрата делят его углы пополам. Площадь квадрата равна квадрату его стороны

Слайд 15
Формулы

Слайд 16
Единичный квадрат Единичный квадрат - квадрат в прямоугольных координатах, левый нижний угол которого находится в начале координат и имеет длины сторон по единице. Его вершины имеют координаты (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Площадь единичного квадрата равна 1, периметр - 4, диагональ - квадратный к орень из двух.

Слайд 17
Ромб Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны, а диагонали в точке пересечения делятся под прямым углом. Свойства: 1. Противолежащие стороны попарно параллельны. 2. Все стороны равны. 3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. 4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов 5. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 6. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 7. Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

Слайд 18
Формулы

Слайд 19
Единичная окружность Единичная окружность - окружность радиуса 1 на евклидовой плоскости.

Слайд 20
Двугранный угол Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскостями называются гранями двугранного угла, а их общая прямая - ребром. Линейный угол: Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре. Теоремы, используемые для решения задач: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей. Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них проведена прямая перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Слайд 21
Треугольник Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Слайд 22
Формулы

Слайд 23
Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник - это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой. Свойства равнобедренного треугольника: 1. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. 2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой. 3. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой. 4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию. 5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые. Признаки равнобедренного треугольника: 1. Два угла треугольника равны 2. Высота совпадает с медианой 3. Высота совпадает с биссектрисой 4. Биссектриса совпадает с медианой 5. Две высоты равны 6. Две медианы равны 7. Две биссектрисы равны

Слайд 24
Равносторонний треугольник Правильный (или равносторонний) треугольник - это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы также равны и составляют 60 °. Свойства: В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60 ∘. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.

Слайд 25
Формулы

Слайд 26
Прямоугольный треугольник Прямоуго́льный треуго́льник - это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов) Свойства:

Слайд 27

Слайд 28
Трапеция Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две - боковые стороны. Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной. Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Слайд 29
Свойства:

Слайд 30

Слайд 31

Слайд 32

Слайд 33
Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Слайд 34
Прямоугольная трапеция Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой Свойства: У прямоугольной трапеции два угла обязательно прямые Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой

Слайд 35
Основные формулы: a и b - основания трапеции с - боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям d - боковая сторона трапеции, не являющаяся перпендикулярной основаниям - острый угол при большем основании трапеции m - средняя линия трапеции

Слайд 36
Окружность Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Слайд 37
Касательная Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойства касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Слайд 38
Х орда Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Свойства хорд: Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM MB = CM MD.

Слайд 39
Свойства окружности: Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая). Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Углы в окружности: Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом. Свойства углов, связанных с окружностью: Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 °. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Слайд 40
Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле: Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом, измеренным в радианах, вычисляется по формуле: Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле: Формулы:

Слайд 41
Круг Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точка О также называется центром круга Свойства: При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя. Круг является выпуклой фигурой. Площадь круга радиуса R вычисляется по формуле: , где ≈3.14159…. Площадь сектора равна, где α - угловая величина дуги в радианах, R - радиус. Периметр круга (длина окружности, ограничивающей круг): . (Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.

Слайд 42
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Слайд 43

Слайд 44
Конус Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (образующими конуса). Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Слайд 45
Сечения конуса Если плоскость сечения проходит через вершину конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса. Сечение конуса, проходящее через ось (высоту) называется осевым. Если плоскость параллельная плоскости основания конуса, то она пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.

Слайд 46
Пирамида Пирамида – многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания. Основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. Высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Слайд 47
Свойства пирамиды: 1) Если все боковые ребра равны, то – около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр – боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы 2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Слайд 48
Виды пирамид Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Для правильной пирамиды справедливо: – боковые ребра правильной пирамиды равны; – в правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники; – в любую правильную пирамиду можно вписать сферу; – около любой правильной пирамиды можно описать сферу; – площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Слайд 49
Виды пирамид Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды. Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Слайд 50
Свойства тетраэдра: Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра. Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части. Основные формулы: а – сторона тетраэдра

Слайд 51
Призма Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2 ... An и B1B2 ... Bn , лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов A1A2B2B1,...,A1AnBnB1 . Боковые грани – все грани, кроме оснований (являются параллелограммами). Боковые ребра – общие стороны боковых граней (параллельны между собой и равны). Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости. Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Слайд 52
Свойства призмы: Основания призмы – это равные многоугольники. Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма. Боковые ребра призмы параллельные и равны. Углы перпендикулярного сечения - это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням и всем боковым рёбрам призмы. Основные формулы: Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной площади основания. S пп = S бп+2 S ос Площадь боковой поверхности произвольной призмы: S=P*l , где P - периметр перпендикулярного сечения, l - длина бокового ребра. Площадь боковой поверхности прямой призмы: S=P*h , где P - периметр основания призмы, h - высота призмы. Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту. V = Soh , где V - объем призмы, So - площадь основания призмы, h - высота призмы.

Слайд 53
Правильная призма Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.).

Слайд 54
Правильная четырехугольная призма Свойства: Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата; Верхнее и нижнее основания параллельны; Боковые грани имеют вид прямоугольников; Все боковые грани равны между собой; Боковые грани перпендикулярны основаниям; Боковые ребра параллельны между собой и равны; Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям; Углы перпендикулярного сечения - прямые; Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником; Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям. Основные формулы:

Слайд 55
Цилиндр Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги, указанные в определении, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими цилиндра. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Свойства цилиндра: Основания цилиндра равны Основания лежат в параллельных плоскостях Образующие цилиндра параллельны и равны Основные формулы: S бп =2 π rh S пп = 2πrh+2πr2=2πr(h+r) V= π r 2 h

Слайд 56
Сечения цилиндра Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, - прямоугольник. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, - круг.

Слайд 57
Шар Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у шара.

Слайд 58
Основные формулы Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента. Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле: S = 2π Rh , где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента. Объём шарового сегмента можно найти по формуле: V = πh2(R – 1/3h), где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента. Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента) и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной – центр шара O . Объем шарового сектора находится по формуле: V = 2/3πR2 H .

Слайд 59
Вектор Вектором называется направленный отрезок, где точка A - начало, точка B - конец вектора. Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Слайд 60
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначают Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору, обозначается как.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Фигуры, изучаемые планиметрией:

3. Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб)

4. Трапеция

5. Окружность

6. Треугольник

7. Многоугольник

1) Точка:

В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.

Точка в Евклидовой геометрии:

Точка - это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить.

Прямая - одно из основных понятий геометрии.

Геометрическая прямая (прямая линия) - незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

3) Параллелограмм:

Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Частные случаи:

Квадрат - правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Квадрат может быть определён как : прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;

ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом).

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

4) Трапеция:

Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

1. Трапеция, у которой боковые стороны не равны,

называется разносторонней .

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции (MN). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником, поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

5) Окружность:

Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

6) Треугольник:

Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

7) Многоугольник:

Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:

Плоские замкнутые ломаные;

Плоские замкнутые ломаные без самопересечений;

Части плоскости, ограниченные ломаными.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.

Основные свойства прямой и точки:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180О, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Свойства треугольника:

Соотношения между сторонами и углами треугольника:

1) Против большей стороны лежит больший угол.

2) Против большего угла лежит большая сторона.

3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника:

1) Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного с третьим углом.

2) Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.

Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным , если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90∘.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника:

1) Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна прямой, содержащей третью сторону треугольника.

2) Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.

3) Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник.

Свойства прямоугольника:

1) противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;

2) диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;

3) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон;

4) прямогугольниками одного размера можно полностью замостить плоскость;

5)прямоугольник можно двумя способами разделить на два равных между собой прямоугольника;

6) прямоугольник можно разделить на два равных между собой прямогульных треугольника;

7)вокруг прямоугольника можно описать окружность, диаметр которой равен диагонали прямоугольника;

8) в прямогульник (кроме квадрата) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Свойства параллелограмма:

1) Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

2) Противоположные стороны параллелограмма равны.

3) Противоположные углы параллелограмма равны.

4) Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

5) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

6) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (d1 и d2) равна сумме квадратов всех его сторон: d21+d22=2(a2+b2)

Свойства квадрата:

1) Все углы квадрата - прямые, все стороны квадрата - равны.

2) Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.

Свойства ромба:

1. Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.

2. Диагонали ромба в точке их пересечения делятся пополам.

3. Противоположные стороны ромба равны между собой, равны и противоположные углы его.

Кроме того, ромб обладает ещё следующими свойствами:

а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

б) диагональ ромба делит угол его пополам.

Свойства окружности:

1) Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

2) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

3) Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Свойства многоугольника:

1) Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна.

2)Число диагоналей всякого n-угольника равно.

3).Произведение сторон многоугольника на синус угла между ними равна площади многоуголиника.

Сенсорное восприятие формы предмета должно быть направлено не только на то, чтобы видеть, узнавать формы, наряду с другими его признаками, но уметь, абстрагируя форму от вещи, видеть ее и в других вещах. Такому восприятию формы предметов и ее обобщению и способствует знание детьми эталонов - геометрических фигур. Поэтому задачей сенсорного развития является форми-рование у ребенка умений узнавать в соответствии с эталоном (той или иной геометрической фигурой) форму разных предметов. Экспериментальные данные Л.А. Венгера показали, что возможностью различать геометрические фигуры обладают дети 3-4 месяцев. Сосредоточение взгляда на новой фигуре - свидетельство этому. Уже на втором году жизни дети свободно выбирают фигуру по образцу из таких пар: квадрат и полукруг, прямоугольник и треугольник. Но различать прямоугольник и квадрат, квадрат и треугольник дети могут лишь после 2,5 лет. Отбор же по образцу фигур более сложной формы доступен примерно на рубеже 4-5 лет, а воспроизведение сложной фигуры осуществляют отдельные дети пятого и шестого года жизни.

Вначале дети воспринимают неизвестные им геометрические фигуры как обычные предметы, называя их именами этих предметов:

цилиндр - стаканом, столбиком,

овал - яичком,

треугольник - парусом или крышей,

прямоугольник - окошечком и т.п.

Под обучающим воздействием взрослых восприятие геометрических фигур постепенно перестраивается. Дети уже не отождествляют их с предметами, а лишь сравнивают: цилиндр - как стакан, треугольник - как крыша и т.п. И, наконец, геометрические фигуры начинают восприниматься детьми как эталоны, с помощью которых познание структуры предмета, его формы и размера осуществляется не только в процессе восприятия той или иной формы зрением, но и путем активного осязания, ощупывания ее под контролем зрения и обозначения словом.

Совместная работа всех анализаторов способствует более точному восприятию формы предметов. Чтобы лучше познать предмет, дети стремятся коснуться его рукой, взять в руки, повернуть; причем рассматривание и ощупывание различны в зависимости от формы и конструкции познаваемого объекта. Поэтому основную роль в восприятии предмета и определении его формы имеет обследование, осуществляемое одновременно зрительным и двигательно-осязательным анализаторами с последующим обозначением словом. Однако у дошкольников наблюдается весьма низкий уровень обследования формы предметов; чаще всего они ограничиваются беглым зрительным восприятием и поэтому не различают близкие по сходству фигуры (овал и круг, прямоугольник и квадрат, разные треугольники). В перцептивной деятельности детей осязательно-двигательные и зрительные приемы постепенно становятся основным способом распознавания формы. Обследование фигур не только обеспечивает целостное их восприятие, но и позволяет ощутить их особенности (характер, направления линий и их сочетания, образующиеся углы и вершины), ребенок учится чувственно выделять в любой фигуре образ в целом и его части. Это дает возможность в дальнейшем сосредоточить внимание ребенка на осмысленном анализе фигуры, сознательно выделяя в ней структурные элементы (стороны, углы, вершины). Дети уже осознанно начинают понимать и такие свойства, как устойчивость, неустойчивость и др., понимать, как образуются вершины, углы и т.д. Сопоставляя объемные и плоские фигуры, дети находят уже общность между ними («У куба есть квадраты», «У бруса - прямоугольники, у цилиндра - круги»). Сравнение фигуры с формой того или иного предмета помогает детям понять, что с геометрическими фигурами можно сравнивать разные предметы или их части. Так, постепенно геометрическая фигура становится эталоном определения формы предметов.

Этапы обучения:

Задача первого этапа обучения детей 3-4 лет - это сенсорное восприятие формы предметов и геометрических фигур.

Второй этап обучения детей 5-6 лет должен быть посвящен формированию системных знаний о геометрических фигурах и развитию у них начальных приемов и способов «геометрического мышления».

«Геометрическое мышление» вполне возможно развить еще в дошкольном возрасте. В развитии «геометрических знаний» у детей прослеживается несколько различных уровней.

Первый уровень характеризуется тем, что фигура воспринимается детьми как целое, ребенок еще не умеет выделять в ней отдельные элементы, не замечает сходства и различия между фигурами, каждую из них воспринимает обособленно. На втором уровне ребенок уже выделяет элементы в фигуре и устанавливает отношения как между ними, так и между отдельными фигурами, однако еще не осознает общности между фигурами.

На третьем уровне ребенок в состоянии устанавливать связи между свойствами и структурой фигур, связи между самими свойствами. Переход от одного уровня к другому не является самопроизвольным, идущим параллельно биологическому развитию человека и зависящим от возраста. Он протекает под влиянием целенаправленного обучения, которое содействует ускорению перехода к более высокому уровню. Отсутствие же обучения тормозит развитие. Обучение поэтому следует организовывать так, чтобы в связи с усвоением знаний о геометрических фигурах у детей развивалось и элементарное геометрическое мышление.

Место и характер использования наглядных (образец, показ) и словесных (указания, пояснения, вопросы и др.) приемов обучения определяются уровнем усвоения детьми изучаемого материала. Когда дети знакомятся с новыми видами деятельности (счетом, отсчетом, сопоставлением предметов по размерам), необходимы полный, развернутый показ и объяснение всех приемов действий, их характера и последовательности, детальное и последовательное рассматривание образца. Указания побуждают детей следить за действиями педагога или вызванного к его столу ребенка, знакомят их с точным словесным обозначением данных действий. Пояснения должны отличаться краткостью и четкостью. Недопустимо употребление непонятных детям слов и выражений.

В работе с детьми 5-б лет повышается роль словесных приемов обучения. Указания и пояснения педагога направляют и планируют деятельность детей. Давая инструкцию, он учитывает, что дети знают и умеют делать, и показывает только новые приемы работы. Вопросы педагога в ходе объяснения стимулируют проявление детьми самостоятельности и сообразительности, побуждая их искать разные способы решения одной и той же задачи: «Как еще можно сделать? Проверить? Сказать?»

По мере накопления умения выполнять те или иные действия ребенку можно предложить сначала высказать предположение, что и как надо сделать (построить ряд предметов, сгруппировать их и пр.), а потом выполнить практическое действие. Так учат детей планировать способы и порядок выполнения задания.

Усвоение правильных оборотов речи обеспечивается многократным их повторением в связи с выполнением разных вариантов заданий одного типа.

Познание геометрических фигур, их свойств и отношений расширяет кругозор детей, позволяет им более точно и разносторонне воспринимать форму окружающих предметов, что положительно отражается на их продуктивной деятельности (рисовании, лепке).

Этапы развития умения определять форму окружающих предметов.

Одним из свойств окружающих предметов является их форма. Форма предметов получила обобщенное отражение в геометрических фигурах. Геометрические фигуры являются эталонами, пользуясь которыми человек определяет форму предметов и их частей.

Проблему знакомства детей с геометрическими фигурами и их свойствами следует рассматривать в двух аспектах:

в плане сенсорного восприятия форм геометрических фигур и использования их как эталонов в познании форм окружающих предметов, в смысле познания особенностей их структуры, свойств, основных связей и закономерностей в их построении, т.е. собственно геометрического материала.

Известно, что грудной ребенок по форме бутылочки узнает ту, из которой он пьет молоко, а в последние месяцы первого года жизни ясно обнаруживается тенденция к отделению одних предметов от других и выделению фигуры из фона. Контур предмета есть то общее начало, которое является исходным как для зрительного, так и для осязательного восприятия. Однако вопрос о роли контура в восприятии формы и формировании целостного образа требует еще дальнейшей разработки.

Первичное овладение формой предмета осуществляется в действиях с ним. Форма предмета, как таковая, не воспринимается отдельно от предмета, она является его неотъемлемым признаком. Специфические зрительные реакции прослеживания контура предмета появляются в конце второго года жизни и начинают предшествовать практическим действиям.

Действия детей с предметами на разных этапах различны. Малыши стремятся прежде всего захватить предмет руками начать манипулировать им. Дети 2,5 лет, прежде чем действовать, довольно подробно зрительно и осязательно-двигательно знакомятся с предметами. Значение практических действий остается главным. Отсюда следует вывод о необходимости руководить развитием персептивных действий двухлетних детей. В зависимости от педагогического руководства характер персептивных действий детей постепенно достигает познавательного уровня. Ребенка начинают интересовать различные признаки предмета, в том числе и форма. Однако он еще долго не может выделить и обобщить тот или иной признак, в том числе и форму разных предметов.

Обучение умению отличать и называть геометрические фигуры, сравнивать и группировать их по разным признакам. Формирование обобщающих понятий.

Вторая младшая группа

Для реализации программных задач в качестве дидактического материала в данной группе используются модели простейших плоских геометрических фигур (круг, квадрат) разного цвета и размера.

Еще до проведения систематических занятий педагог организует игры детей со строительным материалом, наборами геометрических фигур, геометрической мозаикой. В этот период важно обогатить восприятие детей, накопить у. них представления о разнообразных геометрических фигурах, дать их правильное название. На занятиях детей учат различать и правильно называть геометрические фигуры - круг и квадрат. Каждая фигура познается в сравнении с другой. На первом занятии первостепенная роль отводится обучению детей приемам обследования фигур осязательно-двигательным путем под контролем зрения и усвоению их названий. Воспитатель показывает фигуру, называет ее, просит детей взять в руки такую же. Затем педагог организует действия детей с данными фигурами: прокатить круг, поставить, положить квадрат, проверить, будет ли он катиться. Аналогичные действия дети выполняют с фигурами другого цвета и размера. В заключение проводятся два-три упражнения на распознавание и обозначение словами фигур («Что я держу в правой руке, а что в левой?»; «Дай мишке круг, а петрушке квадрат»; «На верхнюю полоску положите один квадрат, а на нижнюю много кругов» и т. п.).

На последующих занятиях организуется система упражнений с целью закрепления у детей умений различать и правильно называть геометрические фигуры: а) упражнения на выбор по образцу: «Дай (принеси, покажи, положи) такую же». Применение образца может быть вариативным: акцентируется только форма фигуры, не обращается внимание на ее цвет и размер; рассматриваются фигуры определенного цвета, определенного размера и фигура определенного цвета и размера; б) упражнения на выбор по словам: «Дай (принеси, покажи, положи, собери) круги» и т. п.; в вариантах упражнений могут содержаться указания на выбор фигуры определенного цвета и размера; в) упражнения в форме дидактических и подвижных игр: «Что это?», «Чудесный мешочек», «Чего не стало?», «Найди свой домик» и др.

Средняя группа

У детей пятого года жизни нужно прежде всего закрепить умение различать и правильно называть круг и квадрат, а затем и треугольник. С этой целью проводятся игровые упражнения, в которых дети группируют фигуры разного цвета и размера. Меняется цвет, размер, а признаки формы остаются неизменными. Это способствует формированию обобщенных знаний о фигурах. Чтобы уточнить представления детей о том, что геометрические фигуры бывают разного размера, им. показывают (на таблице, фланелеграфе или наборном полотне) известные геометрические фигуры. К каждой из них дети подбирают аналогичную фигуру как большего, так и меньшего размера. Сравнив величину фигур (визуально или приемом наложения), дети устанавливают, что фигуры одинаковы по форме, но различны по размеру. В следующем упражнении дети раскладывают по три фигуры разного размера в возрастающем или убывающем порядке. Затем можно предложить детям рассмотреть фигуры, лежащие в индивидуальных конвертах, разложить одинаковой формы рядами и предложить рассказать, у кого каких сколько.

На следующем занятии дети получают уже неодинаковые наборы фигур. Они, разбирая свои комплекты, сообщают, у кого какие фигуры и сколько их. При этом целесообразно упражнять детей и в сравнении количества фигур: «Каких фигур у тебя больше, а каких меньше? Поровну ли у вас квадратов и треугольников?» и т. п. В зависимости от того, как скомплектованы геометрические фигуры в индивидуальных конвертах, между их количеством может быть установлено равенство или неравенство.

Выполняя это задание, ребенок сравнивает количество фигур, устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. Приемы при этом могут быть разные: фигуры в каждой группе располагаются рядами, точно одна под другой, или располагаются парами, или накладываются друг на друга. Так или иначе устанавливается соответствие между элементами фигур двух групп и на этой основе определяется их равенство или неравенство.

Подобным же образом организуются упражнения на группировку и сравнение фигур по цвету, а затем по цвету и размеру одновременно. Таким образом, постоянно меняя наглядный материал, получаем возможность упражнять детей в выделении существенных и несущественных для данного объекта признаков. Аналогичные занятия можно повторить по мере того, как дети будут узнавать новые фигуры.

С новыми геометрическими фигурами детей знакомят путем сравнения с уже известными: прямоугольник с квадратом, шар с кругом, а затем с кубом, куб с квадратом, а затем с шаром, цилиндр с прямоугольником и кругом, а затем с шаром и кубом. Рассматривание и сравнение фигур проводят в определенной последовательности: а) взаимное наложение или приложение фигур; этот прием позволяет четче воспринять особенности фигур, сходство и различие, выделить их элементы; б) организация обследования фигур осязательно-двигательным путем и выделение некоторых элементов и признаков фигуры; эффект обследования фигуры в значительной мере зависит от того, направляет ли воспитатель своим словом наблюдения детей, указывает ли, на что следует смотреть, что узнать (направление линий, их связь, пропорции отдельных частей, наличие углов, вершин, их количество, цвет, размер фигуры одной и той же формы и др.); дети должны научиться словесно описывать ту или иную фигуру. в) организация разнообразных действий с фигурами (катать, класть, ставить в разные положения); действуя с моделями, дети выявляют их устойчивость или неустойчивость, характерные свойства. Например, дети пробуют по-разному ставить шар и цилиндр и обнаруживают, что цилиндр может стоять, может лежать, может и катиться, а шар «всегда катится». Таким образом обнаруживают характерные свойства геометрических тел и фигур; г) организация упражнений по группировке фигур в порядке увеличения и уменьшения размера («Подбери по форме», «Подбери по цвету», «Разложи по порядку» и др.);

д) организация дидактических игр и игровых упражнений для закрепления умений детей различать и называть фигуры («Чего не стало?», «Что изменилось?», «Чудесный мешочек», «Домино форм», «Магазин», «Найди пару» и др.).

Старшая группа

Как уже отмечалось, основной задачей обучения детей 5-6 лет является формирование системы знаний о геометрических фигурах. Первоначальным звеном этой системы являются представления о некоторых признаках геометрических фигур, умение обобщать их на основе общих признаков. Детям даются известные им фигуры и предлагается руками обследовать границы квадрата и круга, прямоугольника и овала и подумать, чем эти фигуры отличаются друг от друга и что в них одинаковое. Они устанавливают, что у квадрата и прямоугольника есть «уголки», а у круга и овала их нет. Воспитатель, обводя фигуру пальцем, объясняет и показывает на прямоугольнике и квадрате углы, вершины, стороны фигуры. Вершина - это та точка, в которой соединяются стороны фигуры. Стороны и вершины образуют границу фигуры, а граница вместе с ее внутренней областью - саму фигуру.

На разных фигурах дети показывают ее внутреннюю область и ее границу - стороны, вершины и углы как часть внутренней области фигуры1. Можно предложить детям заштриховать красным карандашом внутреннюю область фигуры, а синим карандашом обвести ее границу, стороны. Дети не только показывают отдельные элементы фигуры, но и считают вершины, стороны, углы у разных фигур. Сравнивая квадрат с кругом, они выясняют, что у круга нет вершин и углов, есть лишь граница круга - окружность. В дальнейшем дети приучаются различать внутреннюю область любой фигуры и ее границу, считать число сторон, вершин, углов. Обследуя треугольник, они приходят к выводу, что у него три вершины, три угла и три стороны. Очень часто дети сами говорят, почему эта фигура в отличие от прямоугольника и квадрата называется треугольником.

Чтобы убедить детей, что выделенные ими признаки являются характерными свойствами проанализированных фигур, воспитатель предлагает те же фигуры, но больших размеров. Обследуя их, дети подсчитывают вершины, углы и стороны у квадратов, прямоугольников, трапеций, ромбов и приходят к общему выводу, что все эти фигуры независимо от размера имеют по четыре вершины, четыре угла и четыре стороны, а у всех треугольников ровно три вершины, три угла и три стороны. В подобных занятиях важно ставить самих детей в положение ищущих ответа, а не ограничиваться сообщением готовых знаний.

Угол (плоский) - геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами), выходящими из одной точки (вершины). Необходимо приучать ребят делать свои заключения, уточнять к обобщать их ответы. Такая подача знаний ставит детей перед вопросами, на которые им, может быть, не всегда легко найти нужный ответ, но вопросы заставляют ребят думать и более внимательно слушать воспитателя. Итак, не следует спешить давать детям готовые задания: надо прежде всего возбудить интерес к ним, обеспечить возможность действия. Задача воспитателя - педагогически правильно показывать пути и приемы нахождения ответа.

Программой воспитания и обучения в детском саду предусматривается познакомить старших дошкольников с четырехугольниками. Для этого детям показывают множество фигур с четырьмя углами и предлагают самостоятельно придумать название данной группе. Предложения детей «четырехсторонние», «четырехугольные» нужно одобрить и уточнить, что эти фигуры называются четырехугольниками. Такой путь знакомства детей с четырехугольником способствует формированию обобщения. Группировка фигур по признаку количества углов, вершин, сторон абстрагирует мысль детей от других, несущественных признаков. Дети подводятся к выводу, что одно понятие включается в другое, более общее. Такой путь усвоения наиболее целесообразен для умственного развития дошкольников.

В дальнейшем закрепление представлений детей о четырехугольниках может идти путем организации упражнений по классификации фигур разного размера и цвета, зарисовке четырехугольников разного вида на бумаге, разлинованной в клетку, и др.

Подготовительная к школе группа

Знания о геометрических фигурах в подготовительной группе расширяются, углубляются и систематизируются.

Одна из задач подготовительной к школе группы - познакомить детей с многоугольном и его признаками: вершины, стороны, углы. Решение этой задачи позволит подвести детей к обобщению: все фигуры, имеющие по три и более угла, вершины, стороны, относятся к группе многоугольников. Детям показывают модель круга и новую фигуру - пятиугольник. Предлагают сравнить их и выяснить, чем отличаются эти фигуры. Фигура справа отличается от круга тем, что имеет углы, много углов. Детям предлагается прокатить круг и попытаться прокатить многоугольник. Он не катится по столу. Этому мешают углы. Считают углы, стороны, вершины и устанавливают, почему эта фигура называется многоугольником. Затем демонстрируется плакат, на котором изображены различные многоугольники. У отдельных фигур определяются характерные Для них признаки. У всех фигур много сторон, вершин, углов. Как можно назвать все эти фигуры одним словом? И если дети не догадываются, воспитатель помогает им.

Для уточнения знаний о многоугольнике могут быть даны задания по зарисовке фигур на бумаге в клетку. Затем можно показать разные способы преобразования фигур: обрезать или отогнуть углы у квадрата и получится восьмиугольник. Накладывая два квадрата друг на друга, можно получить восьмиконечную звезду. Упражнения детей с геометрическими фигурами, как и в предыдущей группе, состоят в опознавании их по цвету, размерам в разном пространственном положении. Дети считают вершины, углы и стороны, упорядочивают фигуры по их размерам, группируют по форме, цвету и размеру. Они должны не только различать, но и изображать эти фигуры, зная их свойства и особенности. Например, воспитатель предлагает детям нарисовать на бумаге в клетку два квадрата: у одного квадрата длина сторон должна быть равна четырем клеткам, а у другого - на две клетки больше.

После зарисовки этих фигур детям предлагается разделить квадраты пополам, причем в одном квадрате соединить отрезком две противолежащие стороны, а в другом квадрате соединить две противолежащие вершины; рассказать, на сколько частей разделили квадрат и какие фигуры получились, назвать каждую из них. В таком задании одновременно сочетаются счет и измерение условными мерками (длиной стороны клеточки), воспроизводятся фигуры разных размеров на основе знания их свойств, опознаются и называются фигуры после деления квадрата на части (целое и части).

Согласно программе в подготовительной группе следует продолжать учить детей преобразованию фигур. Эта работа способствует, с одной стороны, познанию фигур и их признаков, а с другой стороны, развивает конструктивное и геометрическое мышление. Приемы этой работы многообразны. Одни из них направлены на знакомство с новыми фигурами при их делении на части, другие - на создание новых фигур при их объединении.

Детям предлагают сложить квадрат пополам двумя способами: совмещая противолежащие стороны или противолежащие углы - и сказать, какие фигуры получились после сгибаний (два прямоугольника или два треугольника). Можно предложить узнать, какие получились фигуры, когда прямоугольник разделили на части (рис. 39), и сколько теперь всего фигур (один прямоугольник, а в нем три треугольника). Особый интерес для детей представляют занимательные упражнения на преобразование фигур. Итак, аналитическое восприятие геометрических фигур развивает у детей способность более точно воспринимать форму окружающих предметов и воспроизводить предметы при занятиях рисованием, лепкой, аппликацией. Анализируя разные качества структурных элементов геометрических фигур, дети усваивают то общее, что объединяет фигуры. Так, ребята узнают, что одни фигуры оказываются в соподчиненном отношении; понятие четырехугольника является обобщением таких понятий, как «квадрат», «ромб», «прямоугольник», «трапеция» и др.; в понятие «многоугольник» входят все треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники независимо от их размера и вида. Подобные взаимосвязи и обобщения, вполне доступные детям, поднимают их умственное развитие на новый уровень. У детей развивается познавательная деятельность, формируются новые интересы, развиваются внимание, наблюдательность, речь и мышление и его компоненты (анализ, синтез, обобщение и конкретизация в их единстве). Все это готовит детей к усвоению научных понятий в школе.

Связь количественных представлений с представлениями геометрических фигур создает основу для общематематического развития детей.

Методика знакомства детей дошкольного возраста со свойствами геометрических фигур.

Этапы ознакомления детей с геометрически фигурами

1 этап (до 3-х лет). Организуем выполнение характерных действий с предметами разной формы, вводим название геометрических фигур в пассивный словарь детей. Воспитатель детского сада с самого начала использует общепринятые термины. Чаще всего дети раннего возраста используют для названия формы название часто встречающегося предмета. На первом этапе это допустимо. Однако нельзя навязывать ребенку слово-заместитель, придуманное взрослым. Воспитатель может повторять за ребенком его название, но тут же параллельно произносить правильное название.

В 3 года название геометрических фигур постепенно переводится в активный словарь детей. Для этого детям задаются вопросы: «Что это? Как называется?»

Предлагаются упражнения по нахождению фигуры по образцу, а потом и по названию.

2 этап (3 – 6 лет). Учим детей осознавать свойства геометрических фигур на основе сравнения фигур между собой. Вводим название фигур в активный словарь. Сначала между собой сравниваются сильно контрастные фигуры одинаковой объемности, а затем малоконтрастные одинаковой объемности и, наконец, малоконтрастные разной объемности (например, круг и шар).

Для детей 3-4 лет показывают и сравнивают:

1. Круг и квадрат (катится – не катится, нет препятствий, есть препятствия);

2. Треугольник и круг (катится – не катится, нет препятствий, есть препятствия);

3. Квадрат и треугольник (различаются по количеству углов: у одной фигуры 4 угла, у другой – 3);

4. Шар и куб (катится – не катится, нет препятствий - есть препятствия, можно построить башенку – нельзя построить башенку);

1. Прямоугольник и квадрат (не все стороны равны – все стороны равны);

2. Овал и круг (не все оси равны – все оси равны)

3. Цилиндр с шаром и кубом (в одном положении цилиндр обладает свойствами шара, в другом положении куба);

4. Конус и цилиндр (у конуса внизу и вверху разная толщина, у цилиндра одинаковая, из конусов нельзя построить башенку; цилиндр линейно катится, а конус - по кругу);

1. Ромб и квадрат (у квадрата все углы равны, у ромба не все углы равны);

2. Трапеция и прямоугольник (равенство углов, противоположных сторон; параллельность противоположных сторон);

3. Пирамида и конус (разные боковые поверхности, основания);

4. Овалоид и шар (овалоид катится в одном направлении, а шар в разные стороны; у шара одинаковая толщина снизу вверх и слева на право, а у овалоида – разная толщина);

5. Призма четырехугольная и куб (у куба равные ребра, у призмы не равные);

6. Треугольная призма и четырехугольная (разная форма оснований; из треугольной призмы не всегда можно построить башенку);

7. Овалоид и цилиндр (овалоид неустойчив в любом положении).

8. Сравнение плоских и объемных фигур. Круг сравниваем с шаром, квадрат с кубом, овал с овалоидом, прямоугольник с призмой, прямоугольник с цилиндром, треугольник с конусом, треугольник с пирамидой, треугольник с треугольной призмой.

3 этап (5-6 лет). Задачи:

1. Учить детей обобщению фигур по форме.

Детям даётся несколько моделей одной и той же фигуры, которые отличаются по различным признакам (цвет, размер, пропорции частей, расположение в пространстве). Предлагается обследовать все модели и сказать, что общего (указываются характерные признаки). Затем дети должны назвать фигуры одним словом. Даются упражнения на группировку фигур (по разным основаниям)

2. Учить определять форму окружающих предметов.

Детям предлагаются самые разные предметы, ставится вопрос: «что общего у этих предметов?» Дети должны абстрагироваться от остальных свойств и воспринимать форму как свойство предмета.

Упражнения:

Определить форму показанного предмета;

Ведущий называет форму, а дети должны найти (назвать) предмет такой же формы.

Игры: «Геометрическое лото»; «Дапамажы Олі» (предлагаются карты, поделенные на клетки, в центре изображена фигура, дети отбирают карточки нужной формы и заполняют окошки); «Геометрическое домино»; «Кто правильно назовет»; «Кто быстрее найдет» (ведущий называет форму, дети ищут предметы такой формы).

Замечания:

Очень важно правильно отражать в речи форму предметов. Существуют следующие варианты:

1. Для названия формы предмета используется название геометрической фигуры.

Шкаф (тумбочка) имеет форму четырехугольной призмы,

Поверхность стола имеет форму прямоугольника.

2. Используется прилагательное, образованное от названия геометрической фигуры (прямоугольная). Здесь обязательно следует указывать: объемная форма или плоскостная (шкаф прямоугольный объемный, поверхность стола – прямоугольная плоская).

Воспитатель должен следить, чтобы дети не использовали название плоских геометрических фигур для обозначения в речи формы объемных предметов.

Методика ознакомления детей со свойствами геометрических фигур

Как называется?

Провокационный (показываем новую фигуру (овал) и спрашиваем: «Это круг?»)

Чем похожи?

Чем отличаются?

Осязательно-двигательное обследование. Плоские фигуры обследуем пальчиками, объемные ладошкой

Подсчет углов, сторон; сравнение по количеству.

Сравнение сторон, углов и осей по величине с помощью наложения, путем сгибания или использования условной мерки. Для сравнения углов по величине используется условная мерка, равная прямому углу.

Прокатывание фигуры.

Наложение одной фигуры на другую. При наложении обращается внимание на то, что фигуры отличаются наличием лишних кусочков.

Построение башенки (только для объемных предметов).

Прятанье в ладошки фигур (проверяем плоская или объемная фигура).

Создание формы предмета: рисование, закрашивание, вырезание плоских фигур, лепка и конструирование объемных фигур.

Упражнения на группировку.

Фигуры отличаются только по форме,

Фигуры разного цвета, размеров, пропорций.

Упражнения на создание фигуры из частей.

Дидактические игры.

Нахождение фигуры по образцу («Найди свой домик», «Чей домик быстрее соберется», «Автомобили и гаражи»).

Нахождение фигуры по названию («Чудесный мешочек», «Дай мне названную фигуру»).

Нахождение фигуры по описанию (перечисление характерных свойств), «Отгадай».

Составление фигур из частей (игры-головоломки: «Пифагор», «Танграмм», «Калумбово яйцо», активно используются в программе «Детство»).

Выкладывание фигур из палочек. На первом этапе в средней группе предлагаются палочки одинакового размера, чаще всего счетные, нельзя использовать спички.

Виды заданий

1. Построить треугольник, квадрат, прямоугольник. После формулировки задания анализируем фигуры и выясняем, сколько сторон, углов, равны ли стороны, сколько надо взять палочек.

Если у детей возникают сложности, то дается индивидуальный образец.

2. Провокационное задание: выложить круг из палочек (нельзя - у круга нет сторон).

3. Задание занимательного характера на смекалку: выложить два треугольника из 5-ти палочек.

На 2-ом этапе (старшая группа). Кроме палочек одинаковой длины предлагаем палочки разной длины:

Построй фигуры разные по величине;

Построй треугольники с разными по длине сторонами;

Построй трапецию, ромб.

Предварительно детям задаются вопросы (как на первом этапе).

Задания на смекалку.

Как получить из прямоугольника трапецию. Предложить одну палочку, чтобы получилась другая фигура.

Можно предложить выложить домик, кораблик и т.д.

Методы показа отличия плоских и объемных фигур:

Накрываем прямой ладошкой фигуру на столе. Если ладошка касается стола – фигура плоская, если нет - объемная. Или: если фигура прячется в ладошках, то она плоская, если нет - объемная. Плоские фигуры – это «письма», а объемные «посылки», не помещающиеся в почтовую прорезь.

Применяется подсчет углов (например, у квадрата – 4, а у куба – 8).

Плоские фигуры можно изобразить на листе бумаги в процессе рисования или аппликации, а объемные – в процессе лепки или конструирования из бумаги или строительных деталей. Если надо нарисовать объемный предмет, то его изображаем в виде соответствующей плоской фигуры.

Замечания о прямоугольнике.

1. Вначале отличие прямоугольника и квадрата показывается путем наложения. У квадрата выступают кусочки, значит фигуры разные.

2. У квадрата все стороны равны, а у простого прямоугольника соседние стороны не равны. Проверяем это одним из следующих приёмов:

Сгибание листа до совмещения соседних сторон;

Использование условной мерки.

Важно, чтобы дети понимали, что квадрат является прямоугольником. Можно сказать, что квадрат - волшебный прямоугольник (все стороны равны). В старшей группе проводится обобщение понятия «прямоугольник», предварительно поясняется понятие «прямой угол». Сначала уточнятся, что такое угол.

Показываем и называем, что этот кусочек плоскости – угол (часть плоскости между сторонами, имеющими общую точу).

Для того чтобы дать представление о прямом угле, рассматривается 2 картинки:

1. Дерево растет ровно, прямо, значит между деревом и землей прямой угол.

2. Подул ветер, и дерево наклонилось. Дерево стоит не прямо, значит угол не прямой.

Далее рассматриваются различные фигуры, сравниваются и измеряются у них углы с помощью условной мерки. равной по величине прямому углу. Чтобы дети не путали угол с треугольником, край условной мерки должен быть не прямой линией.

Проводятся упражнения по прикладыванию мерки к углам разных фигур. Поясняется происхождение слова «прямоугольник»: «прямой» + «угол».

Упражнение: измерить углы у предметов в групповой комнате с помощью условной мерки.

Замечания об овале. Более точный способ показа отличия овала от круга - это измерение осей. Пояснение понятия «ось»: «У круга и овала сторон нет, мы нарисуем линию внутри фигур через середину фигуры от одного края к другому. Эти линии называются «оси». Приводятся примеры округлых предметов, в которых имеется ось, подводя к выводу: у круга – все оси равны между собой, а у овала – нет. Существует два способа измерение осей: с помощью условной мерки или путем сгибание по оси.

Замечания о ромбе. В старш.возр. показывается сначала сходство между ромбом и квадратом (4 угла; 4 стороны, все стороны равны).

Отличие заключается в том, что у ромба не все углы равны. Это показывается при помощи условной мерки, равной прямому углу. Знакомство с ромбом происходит в процессе аппликации и рисования.

Замечания о трапеции. В старш.возр. при сравнении трапеции с прямоугольником выделяются следующие отличия:

1) у трапеции не все углы прямые.

2) параллельные противоположные стороны у трапеции не равны (проверяется путем сгибания до совмещения противоположных сторон, либо путем измерения условной меркой).

3) У трапеции 2 стороны наклонные (не параллельные).

Детям поясняется параллельность через показ того, что расстояние между сторонами прямоугольника одинаково, а между сторонами трапеции нет. Приводим примеры параллельности: электропровода, рельсы, предметы мебели.

Затем трапеция сравнивается с треугольником (крыша бывает разной формы). Отличия: у треугольника 3 угла и 3 стороны, а у трапеции 4 угла и 4 стороны.

На занятиях по аппликации показываются способы получения трапеции сначала из прямоугольника, а затем из треугольника.

Замечания о цилиндре. В среднем возр. цилиндр сравнивается с шаром и кубом. Сначала показывается, чем похож и чем отличается цилиндр от шара, а затем - от куба.

Цилиндр для сравнения с шаром кладется на бок и выделяются сходства фигур:

1) боковая поверхность обеих фигур не имеет препятствий.

2) шар и цилиндр катятся.

3) если положить шар на шар и цилиндр на цилиндр, то башенка не получается.

Затем цилиндр переворачивается на основание, так он на шар не похож (есть препятствие, не катится, башенку из цилиндров можно построить). Обращается внимание, что в таком положении он похож на куб. Делается вывод: цилиндр – хитрая фигура, если лежит на боку - похожа на шар, если стоит на основании, то - на куб.

В старшем возрасте цилиндр сравнивается с овалоидом в процессе лепки. Сначала выясняется, чем похожи эти фигуры. Затем показывается единственное отличие: если цилиндр стоит на основании, то он устойчив, а овалоид неустойчив в любом положении. Существуют также отличия в приемах лепки.

Замечания о конусе. Отличия конуса от цилиндра:

1) из цилиндров можно построить башенку; а из конусов – нельзя;

2) цилиндр катится вперед – назад, конус – по кругу;

3) у цилиндра и пол, и потолок имеют форму круга;

4) толщина цилиндра внизу и вверху одинаковая, конус внизу толстый, а вверху тоненький.

В старш. возр. с конусом сравниваем пирамиду и треугольную призму.

Отличие пирамиды от конуса:

1) у пирамиды ребристая боковая поверхность.

2) основание у конуса – круг, у пирамиды – многоугольник.

Отличие конуса и треугольной призмы:

1) поверхность у призмы негладкая, ребристая,

2) призма не катится,

3) у треугольной призмы 2 острые вершины, когда лежит на боку.

4) у треугольной призмы основание другой формы,

5) разное количество вершин.

Схожесть: обе фигуры используются как крыша.

Замечания о призме. Знакомство с призмой происходит в старшем возрасте на основе сравнения с кубом (аналогично как сравнивались прямоугольник с квадратом).

Отличия: все стороны куба (ребра) равны, а у призмы общего вида соседние стороны не равны (измеряются условной меркой).

К концу ст. возраста показываются отличия 4-угольной и 3-угольной призм:

Основания у 4-угольной призмы имеет форму четырехугольника, а у треугольной призмы – треугольника. Поэтому они по-разному называются.

4-угольная призма устойчива (можно построить башенку), если лежит на боковой грани, а 3-угольная – нет. Эта фигура используется как крыша в конструировании.

Замечания об овалоиде. Отличия овалоида и шара заключаются в отличительных приемах в лепке фигур: шар – раскатывается круговыми движениями, овалоид только вперед - назад. Показывается, что у них разная толщина (обычно на лепке). Возможны 2 способа:

С помощью условной мерки – палочки. Если проткнуть шар по вертикали и горизонтали, то толщина – одинаковая. Если проткнуть овалоид, то толщина – разная.

С помощью условной мерки - ниточки - можно обмотать шар сначала по вертикали, а затем по горизонтали. Для шара длина ниточки – одинаковая. Для овалоида понадобиться ниточка разной длины.

Этапы усвоения пространства. Чувственная и речевая основа пространственных ориентировок.

Ориентировка в пространстве требует умения пользоваться какой-либо системой отсчета. В период раннего детства ребенок ориентируется в пространстве на основе так называемой чувственной системы отсчета, т. е. по сторонам собственного тела. В дошкольном возрасте ребенок овладевает словесной системой отсчета по основным пространственным направлениям: вперед-назад, вверх-вниз, направо-налево. В период школьного обучения дети овладевают новой системой отсчета - по сторонам горизонта: север, юг, запад, восток. Освоение каждой следующей системы отсчета базируется на прочном знании предшествующей. Так, установлено, что усвоение учениками -V классов сторон горизонта зависит от умения дифференцировать основные пространственные направления на географической карте. Север, например, ассоциируется вначале у детей с пространственным направлением вверху, юг - внизу, запад - с направлением слева и восток - с расположением справа. Дифференцировка же основных пространственных направлений обусловлена уровнем ориентации ребенка «на себе», степенью освоенности им «схемы собственного тела», которая по сути и является «чувственной системой отсчета». Позднее на нее накладывается другая система отсчета - словесная. Происходит это в результате закрепления за чувственно различаемыми ребенком направлениями относящихся к ним названий: вверх, вниз, вперед, назад, направо, налево. Таким образом, дошкольный возраст - период освоения словесной системы отсчета по основным пространственным направлениям. Как же ребенок овладевает ею? Различаемые направления ребенок соотносит прежде всего с определенными частями собственного тела. Так упорядочиваются связи типа: вверху - где голова, а внизу - где ноги, впереди - где лицо, а сзади - где спина, направо - там, где правая рука, налево - где левая. Ориентировка на собственном теле служит опорой в освоении ребенком пространственных направлений. Из трех парных групп основных направлений, соответствующих основным осям человеческого тела (фронтальной, вертикальной и сагиттальной), раньше всех выделяется верхнее, что обусловлено, видимо, преимущественно вертикальным положением тела ребенка. Вычленение же нижнего направления, как противоположной стороны вертикальной оси, так и дифференцировка парных групп направлений, характерных для горизонтальной плоскости (вперед-назад, направо-налево), происходит позднее. Очевидно, точность ориентировки на горизонтальной плоскости в соответствии с характерными для нее группами направлений является более сложной задачей для дошкольника, нежели дифференцировка различных плоскостей (вертикальной и горизонтальной) трехмерного пространства. Усвоив в основном группы парнопротивоположных направлений, маленький ребенок еще ошибается в точности различения внутри каждой группы. Об этом убедительно свидетельствуют факты смешения детьми правого с левым, верхнего с нижним, пространственного направления вперед с противоположным ему назад. Особые трудности для дошкольников представляет различение направо-налево, в основе которого лежит процесс дифференцировки правой и левой стороны тела. Следовательно, ребенок лишь постепенно овладевает пониманием парности пространственных направлений, адекватным их обозначением и практическим различением. В каждой из пар пространственных обозначений выделяется сначала одно, например: под, справа, сверху, сзади, а на основе сравнения с первыми осознаются и противоположные: над, слева, снизу, впереди. Это следует учитывать в методике обучения, последовательно формируя взаимосвязанные между собой пространственные представления. Как же ребенок овладевает умением применять или использовать освоенную им систему отсчета при ориентировке в окружающем пространстве? Первый этап начинается с «практического примеривания», выражающегося в реальном соотнесении окружающих объектов с исходной точкой отсчета. На втором этапе появляется зрительная оценка расположения объектов, находящихся на некотором расстоянии от исходной точки. Исключительно велика при этом роль двигательного анализатора, участие которого в пространственном различении постепенно изменяется. Вначале весь комплекс пространственно-двигательных связей представлен весьма развернуто. Например, ребенок прислоняется спиной к предмету и только после этого говорит, что предмет этот расположен сзади; касается рукой предмета, находящегося сбоку, и лишь затем говорит, с какой стороны от него - с правой или с левой - расположен данный объект, и т. п. Иначе говоря, ребенок практически соотносит объекты с чувственно данной ему системой отсчета, каковой являются различные стороны его собственного тела. Непосредственное передвижение к объекту для установления контактной близости с ним заменяется позднее поворотом корпуса, а затем указательным движением руки в нужном направлении. Далее на смену широкому указательному жесту приходит менее заметное движение руки. Указательный жест сменяется легким движением головы и, наконец, только взглядом, обращенным в сторону определяемого предмета. Так, от практически действенного способа пространственной ориентации ребенок переходит к другому способу, в основе которого лежит уже зрительная оценка пространственной размещенности предметов относительно друг друга и определяющего их субъекта. В основе такого восприятия пространства лежит опыт непосредственного передвижения в нем. С приобретением опыта пространственной ориентации у детей происходит интеллектуализация внешне выраженных двигательных реакций. Процесс постепенного их свертывания и переход в план умственных действий есть проявление общей тенденции развития умственного действия из материализованного, практического. Особенности ориентации детей на местности С развитием пространственной ориентации изменяется, совершенствуется и характер отражения воспринимаемого пространства. Восприятие внешнего мира пространственно расчленено. Такая расчлененность «навязана» нашему восприятию объективным свойством пространства - его трехмерностью. Соотнося расположенные в пространстве предметы с различными сторонами собственного тела, человек как бы расчленяет его по основным направлениям, т. е. воспринимает окружающее пространство как местность, соответственно расчлененную на различные зоны: переднюю (правостороннюю, левостороннюю) и заднюю (тоже правостороннюю и левостороннюю). Но как же ребенок приходит к такому восприятию и пониманию? Каковы при этом возможности дошкольников? Вначале объектами, расположенными впереди, сзади, справа или слева от себя, ребенок считает лишь те, что непосредственно примыкают к соответствующим сторонам его тела или максимально приближены к ним. Следовательно, площадь, на которой ориентируется ребенок, вначале крайне ограниченна. Сама ориентировка осуществляется в этом случае в контактной близости, т. е. в буквальном смысле слова на себе и от себя.

Особенности усвоения способов пространственной ориентации по схеме собственного тела, по схеме расположения предметов, по направлениям пространства.

Младший дошкольник ориентируется на основе так называемой чувственной системы отсчета, т. е. по сторонам собственного тела . Поэтому предлагается учить детей различать левую и правую руки, направления от себя: вперед (впе­реди), назад (позади), вверху, внизу. Развиваются пространствен­ные представления у детей четвертого года жизни в основном во время режимных моментов, в подвижных играх, на всех занятиях.

В начале учебного года надо проверить, знают ли малыши названия частей своего тела, лица . Только после этого можно учить их определять направление, ориентируясь от себя. Например, впе­ред- значит лицом ко мне, сзади-значит за спиной и т.д.

Детей надо знакомить с названиями обеих рук (одновременно) и различными их функциями. Например, на занятиях рисованием ребенка учат левой рукой придерживать лист бумаги, чтобы он не скользил по столу, а правой держать карандаш. На занятиях ап­пликацией он учится правой рукой держать кисточку, намазывать то, что наклеивает, а левой придерживать, промокать тряпочкой. На физкультурных, музыкальных занятиях детей учат ориенти­роваться от себя: «Пошли вперед, повернулись назад. Оля, встань впереди. Сережа, встань позади Оли».

Усвоить направления вперед, назад, налево, направо помогают игры с использованием стрелок-указателей. На прогулке воспитатель незаметно прячет игрушку и говорит малышам, что найти ее поможет стрелка, острый конец которой показывает, куда нужно идти.

Игры с подвесным шариком способствуют усвоению понятий верх и вниз. В шарике, состоящем из двух половинок, зажимается лента. Его подвешивают на перекладину выше роста ребенка. Педагог предлагает детям качнуть шарик, затем незаметно для них поднимает шарик выше. Дети тянутся руками, но не могут достать. Воспитатель объясняет: «Шарик высоко - не достать, а сейчас я опущу его вниз, чтобы можно было качнуть». Как только дети на­чинают раскачивать шарик, педагог вновь поднимает его и спраши­вает: «Где же шарик, почему вы с ним не играете?» Затем уточ­няет: «Шарик вверху, а сейчас будет снова внизу».

Для закрепления пространственных направлений можно ис­пользовать еще одну игру - «Где звенит колокольчик?» . Дети становятся полукругом, закрывают глаза. Воспитатель ходит по кругу, останавливаясь поочередно у каждого ребенка, и звенит ко­локольчиком то слева, то справа от него, то вверху, то внизу. Ребе­нок определяет, с какой стороны раздается звук. Открыв глаза, он сначала может показать направление руками, а затем назвать его. Чтобы не дезориентировать детей, педагог должен помнить, что на занятиях, где решается специальная задача по формиро­ванию пространственных представлений, нельзя ставить или са­жать ребят друг против друга, кругом, так как при этом нарушает­ся однородность восприятия пространства.

Различие детьми основных направлений от себя в статике и при движениях. Развитие умения ориентироваться в окружающем пространстве от себя, от объектов, определение положения предметов по отношению друг к другу.

Задачи ориентировки в пространстве усложняются: дети не только учатся определятьнаправление от себя , но идвигаться в этом направлении . Здесь можно использовать различные игровые приемы и игры типа «Найди спрятанную игрушку»,«Куда пойдешь и что найдешь?» , «Путешествие» и т. д.

Например, в игре «Найди спрятанную игрушку», ребенок выходит за дверь, а все остальные прячут игрушку. Чтобы ее найти, входящему указывают направление в одном случае словесно: «Иди от стола, до ковра, от ковра поверни направо, сделай три шага и там ищи!» В другой раз воспитатель обозначает направление на полу групповой комнаты стрелками разного цвета, а ребенку говорит: «Сначала иди туда, куда показывает красная стрелка, потом поверни туда, куда показывает синяя, затем пройди три шага и там ищи». При повороте ребенок должен сказать, куда он повернул: направо или налево.

Дети также учатся определять и обозначать словамиположение предметов по отношению к себе . Например: «Впереди меня - стол, позади меня - шкаф, справа - дверь». Для закрепления навыков можно использовать дидактические игры типа «Куда бросим мяч?», «Чтоизменилось?», «Угадай, что где находится» и т. д.

В игре «Куда бросим мяч?» дети встают в круг. Воспитатель дает задания: «Брось мяч тому, кто стоит перед тобой», «Брось мяч тому, кто стоит слева от тебя». Игру «Что изменилось?» можно провести за столом. Водящий ребенок должен сказать, кто сидит впереди него, кто - слева, кто - справа. Затем он закрывает глаза, а дети меняются местами. Открыв глаза, водящий определяет, что изменилось. Например: «Маша сидела сзади, а теперь сидит слева. Вова сидел слева, а теперь впереди меня».

Детей такжеучат ориентироваться в пространстве на листе бумаги. На занятиях часто требуется найти верхнюю и нижнюю полоски счетной карточки, правую и левую стороны листа, разложить в определенном месте какое-то количество предметов. Усвоить пространство листа помогут ориентиры: красная линия обозначает веррхнюю часть листа, синяя - нижнюю, крестик - правую часть, кружочек - левую. Такие наглядные опоры помогают выделить в ще и на своем листе одни и те же части пространства и связать их с определенным названием (вверху, сверху, внизу, снизу, справа, слева, посередине).

Дети шестого года жизни продолжают овладевать пространственными представлениями:слева, справа, вверху, внизу, впереди, сзади, далеко, близко. Новая задача - обучить ориентироваться в специально созданных пространственных ситуациях и определять свое место по заданному условию. Ребенка необходимо научить выполнять задания(типа: «Встань так, чтобы справа от тебя был шкаф, а сзади - стул. Сядь так, чтобы впереди тебя сидела Таня, а сзади - Коля».

Кроме этого, дети должны научиться определять словом положение того или иного предмета по отношению к другому: «Справа от куклы стоит заяц, слева от куклы - пирамидка, впереди Тани - окно, над головой Тани - лампа». Формирование пространственных ориентировок проходит успешно, если ребенок постоянно оказывается перед необходимостью оперировать этими понятиями. Ситуации, в которые включаются дети, должны быть занимательны для дошкольников.

В развитии пространственных ориентировок, кроме специальных игр и заданий на занятиях по математике, особую роль играют прогулки, подвижные игры, физкультурные упражнения, музыкальные занятия, занятия по изобразительной деятельности, различные режимные моменты (одевание, раздевание, дежурства), битовая ориентировка детей не только в своей групповой комнате или на своем участке, но и в помещении всего детского сада.

Методика развития умения ориентироваться в двухмерном пространстве.

Формирование умения ориентироваться в двухмерном пространстве (3 – 6 лет)

В трехмерном пространстве существуют 6 направлений: вверху, внизу, слева, справа, спереди, сзади. А в двухмерном – только 4 направления (отсутствуют направления: спереди, сзади).

1 этап (3 – 4 года). Сначала учат детей: где левая (правая) часть листа бумаги. Предлагается положить руки на лист бумаги: где левая рука – это левая часть листочка, а где правая рука – правая часть.

Виды упражнений: положить 1 пуговицу слева, много – справа, разложить предметы слева направо.

Затем показывают, что значит вверху, внизу листа, потом поясняют: вверху – это дальше от тебя, внизу – ближе к тебе.

Задание: вверху разложить грибочки, внизу – елочки.

2 этап (4 – 5 лет). Виды упражнений:

Раскладывание определенного количества предметов

справа (слева, вверху, внизу),

Создание узора на плоскости. Варианты:

а) воспитатель диктует, какие предметы положить в каком месте;

б) детям дается готовая карточка, и дети описывают ее;

в) дети придумывают узор и описывают его.

Называя расположение предмета на плоскости, надо обязательно говорить: относительно чего мы его располагаем (например: вверху от треугольника; внизу всей плоскости)

Вопросы: Что находится вверху (внизу, слева, справа) на листе? Где находится треугольник?

Игры: - «Найди свой домик» (дети ищут «домики», соответствующие своему узору),

- «Парные картинки» (нарисованы одни и те же предметы, но по-разному расположенные в пространстве; надо найти одинаковые картинки).

Можно создавать узоры на аппликации и рисовании (открытка, домик, фартучек).

3 этап (5 – 6 лет). Детям предлагаются упражнения и игры с усложнениями. В узорах используется большее количество предметов, располагаются они в уголках. Детям поясняются такие сложные пространственные направления, как «левый верхний угол» (правый нижний угол): если предмет находится и вверху и справа, то говорим, что он находится в верхнем правом уголочке. Можно использовать цвет: верх карточки заштриховать полоской одного цвета, правую часть карточки полоской другого цвета, на пересечении получим правый верхний угол.

Упражнение: «Создание узора на бумаге в клеточку». Сначала проводятся подготовительные упражнения:

Поставить точку в указанном месте на бумаге (например, отступив 3 клеточки сверху и 2 - слева),

Провести линию определенной длины в указанном направлении (например, 3 клеточки слева направо).

Затем воспитатель диктует детям заранее продуманный узор, желательно, чтобы он был симметричным.

4 этап (5 – 6 лет). Учат детей переходить из трёхмерного пространства в двухмерное и наоборот (трансформировать), т.е. детей учат составлять схемы, план, а затем находить предметы в трёхмерном пространстве, ориентируясь на схему.

Подготовительные упражнения: знакомят детей с условными знаками. Затем детям предлагаются готовые условные знаки, которые они должны разложить на листе бумаги в соответствии с расположением предметов в 3-мерном пространстве.

Основные упражнения:

Нарисовать на схеме с помощью условных знаков предметы, расположенные в комнате или на участке,

По готовой схеме расставить предметы.

Игры: «Обставь кукле комнату», «Дизайнер», «Найди секрет», «Разведчики», «Найди, что спрятано». (Звездочкой обозначено место, где спрятан секрет, стрелками – маршрут, по которому надо идти. Могут играть 2 команды: кто быстрее найдет).

Особенности восприятия времени детьми раннего и дошкольного возраста.

У дошкольников образуется ясное для конкретных событий представление о прошедшем, настоящем и будущем. Многие педагоги отмечают этот чисто конкретный характер временных представлений дошкольников. О днях, месяцах, часах дети говорят как о предметах и даже олицетворяют время: «Куда ушло вчера?» Для конкретизации временных отношений, объективность которых дети долго не могут понять, они используют любые факты, которые в их опыте оказались связанными с определенными показателями времени. Например: «Папа, почему ты пришел! Разве уже вечер?» Дети 3-5 лет устанавливают связь между постоянно повторяющимися фактами и соответствующими показателями времени: «Утро - когда встаем, вечер - когда из сада домой забирают». По мере накопления опыта ориентировки во времени дети устанавливают более существенные признаки, как показатели времени начинают использоваться некоторые объективные явления: «Сейчас уже утро, светло, солнышко встает, а ночь - это когда темно и все спят».

Младшие дошкольники уже более четко локализуют во времени события, обладающие отличительными качественными признаками, эмоциональной привлекательностью, хорошо им знакомые: «Елка - когда зима, поедем на дачу, когда лето» и др. Как же практически отражается категория времени в речи детей дошкольного возраста? Наиболее доступными, первоначальными речевыми выражениями категории времени являются нерасчлененные временные отношения. Они обозначаются словами сначала, потом, раньше, позже, затем ребенок начинает пользоваться словами давно и скоро. Дети 6-7 лет уже активно пользуются временными наречиями. Но не все временные категории осознаются ими и правильно отражаются в речи: лучше усваиваются наречия, обозначающие скорость и локализацию событий во времени, хуже - наречия, выражающие длительность и последовательность. Однако несколько обучающих занятий, раскрывающих значение наиболее трудных для детей временных наречий, уточняют их понимание. Отсюда следует вывод: процесс речевого выражения временных понятий у детей; 5-7 лет находится в стадии непрерывного развития, которое протекает особенно интенсивно, если этим процессом управлять. Однако тонкая дифференцировка временных отношений в дошкольном возрасте формируется еще медленно и в значительной степени зависит от общего умственного и речевого развития детей. Характер представлений детей дошкольного возраста о времени связан с пониманием ими свойств времени, овладением временными понятиями (на рассвете, в сумерки, в полдень, в полночь, сутки, неделя, месяц, год), умением ориентироваться во времени суток по природным явлениям, представлением о причинно-временных зависимостях ритмичных природных явлений, о продолжительности секунды, минуты и часа и умениями определять время на часах, оценивать временные интервалы. Опыт обучения показывает, что в процессе организации педагогического воздействия в детском саду и в семье дети усваивают лишь некоторые из перечисленных временных представлений и умений ориентироваться во времени. Уровень этих знаний невысок. Разные по значению временные понятия часто совмещены. Например, дети не чувствуют разницы в словах рассвет и сумерки, обозначающих переходные периоды от ночной тьмы к дневному свету. Значения слов полночь и полдень не воспринимают как обозначение моментов равного деления дня и ночи. Дети смешивают понятия «день» и «сутки», не могут назвать всех частей суток, не знают, что день - это часть суток. Большинство детей не замечают различий в окраске небосклона в разные периоды суток, не могут установить и последовательность частей суток. В их представлении сутки кончаются ночью, а утром начинаются. Таким образом, у некоторых детей имеются неправильные представления об обособленности каждых суток и их прерывности. Часто дошкольники не знают названий дней недели, не могут определить их последовательность. В запоминании дней недели наблюдается неравномерность, лучше запоминаются дни, имеющие выраженную эмоциональную окраску для ребенка. Эта особенность проявляется и в запоминании детьми названий месяцев. Недостаточны знания даже старших дошкольников о способах измерения времени (с помощью календаря, часов). Названия интервалов времени (минута, час) остаются для детей чисто словесными, абстрактными, так как еще не накоплен жизненный опыт деятельности в течение этих отрезков времени. Могут ли дети оценивать длительность небольших отрезков времени в процессе выполнения разнообразной деятельности?

Опыт показывает, что дошкольники способны оценивать длительность одной минуты, но эта оценка зависит от характера деятельности в данный промежуток времени. Положительные эмоции у детей, возникающие в процессе интересной деятельности, вызывают желание продлить приятный момент. Поэтому при оценке времени, заполненного событиями интересного и богатого содержания, ребенок допускает переоценку малого времени, которое протекает незаметно и его длительность кажется меньше. Время, заполненное однообразной, мало интересной деятельностью, кажется ребенку более длительным. Влияние этих субъективных факторов может быть значительно ослаблено в результате развития у детей «чувства времени», точность оценки различных временных интервалов под воздействием специально организованных упражнений совершенствуется. . Итак, имеющиеся у детей знания о времени неполны, единичны, не взаимосвязаны и статичны. Это объясняется тем, что эпизодические занятия (проводимые с дошкольниками преимущественно словесными методами), на которых детей знакомят с признаками частей суток, заучивают последовательность дней недели, месяцев, не дают им необходимых знаний о времени - о его текучести и необратимости, о ритме, темпе и периодичности. Получаемые детьми сведения остаются на поверхности сознания, не раскрывают временных отношений.

Обучение детей разного возраста отличию частей суток, умению определять их последовательность. Понятие «сутки». Усвоение слов «вчера», «сегодня», «завтра».

Сутки принято делить на четыре части: утро, день, вечер, ночь. Такое деление, с одной стороны, связано с объективными изменениями, происходящими в окружающей среде в связи с различным положением солнца, освещенностью земной поверхности, воздушного пространства, появлением и исчезновением луны, звезд, а с другой стороны, со сменой видов деятельности людей в разные части суток, с чередованием труда и отдыха. Продолжительность каждой части суток бывает различной, поэтому их смена принята условно. Ознакомление детей с частями суток согласно «Программе воспитания и обучения в детском саду» начинается со второй младшей группы. В этом возрасте надо научить детей различать и обозначать словами все четыре части суток. Конкретным определителем времени для детей является их собственная деятельность. Поэтому, обучая детей, надо насыщать части суток конкретными, существенными признаками детской деятельности, называя соответствующее время. Какие же виды деятельности рекомендуется использовать в качестве показателей разных частей суток? Среди разнообразных видов деятельности, которые ежедневно повторяются в режиме дня ребенка, есть постоянные, имеющие место только один раз в сутки, в определенное время: это приход в детский сад, зарядка, обед, послеобеденный сон и т. п. Есть и вариативные виды деятельности, повторяющиеся несколько раз в течение дня, в разные части суток: игра, умывание, одевание и раздевание, прогулка и т. п. Они также могут быть использованы в качестве показателей частей суток.

Ознакомление с частями суток следует начать с беседы о личном, конкретном опыте детей. Воспитатель может задать такие вопросы: «Дети, вы просыпаетесь дома, когда мама скажет, что пора вставать, уже утро! Что вы делаете дома утром? Когда вы приходите в детский сад? Что вы делаете утром в детском саду?» В конце беседы педагог обобщает: «В детском саду вы каждый день делаете гимнастику, завтракаете. Потом проводится занятие. Все это происходит утром. Сейчас утро, и мы занимаемся». Такие беседы проводятся на занятиях по математике, при этом особое внимание уделяется упражнению детей в правильном обозначении словами частей суток. В повседневной жизни важно упражнять детей в использовании названий частей суток, в соотнесении действий с определенным временем суток.

Закрепление умений определять части суток следует осуществлять на занятиях, показывая детям картинки с изображением постоянных видов деятельности, характерных для каждой части суток (можно использовать картинки сказочного содержания), и обсуждая вопрос: «Когда это бывает?» На последующих занятиях задание усложняют, предложив выбрать из нескольких картинок те, на которых нарисовано, что бывает в какой-либо один из периодов суток (утром, днем, вечером или ночью).

Для закрепления знаний детей полезно чтение отрывков из рассказов, стихотворений, в которых описываются характерные для каждой части суток практические действия. Можно использовать и наиболее простые словесные игры для активизации словаря за счет названий частей суток. Например, в игре «Назови пропущенное слово» воспитатель в предложении пропускает название части суток: «Мы завтракаем утром, а обедаем...?» В средней группе надо закрепить у детей умения называть части суток, углубить и расширить их представления об этих отрезках времени, постоянно обращая внимание на разнообразные явления, характерные для каждой части суток. Здесь уже можно показать, что происходит и чем занимаются утром, днем, вечером и ночью не только сами дети, но и взрослые. С этой целью можно использовать картинки с более широким содержанием: школьники утром идут в школу, салют на фоне вечернего города, люди выходят вечером из театра и др. Рассматриваются и серии картинок, на которых изображено все, что бывает, например, вечером (дети уходят из детского сада, играют дома, наблюдают вечернюю улицу с балкона, бабушка читает книжку ребенку, лежащему в постели). Полезно предложить самим детям из набора выбрать все картинки, на которых нарисовано то, что бывает днем.

В пассивный словарь слова «вчера», «сегодня», «завтра» вводятся в 3 - 5 лет. В активный – в 5 – 6 лет (согласно исследованиям А.М. Леушиной).

Что ты делал вчера (сегодня, завтра)? (в ответ - характерные действия).

Когда ты ходил в парк (делал названные действия)? (в ответ - вчера, или сегодня, или завтра).

Упражнения о сменяемости 3-х суток: детям дается 3 набора карточек частей суток и предлагается разложить эти карточки, чтобы получились трое суток. Поясняется: как только заканчивается ночь 1-х суток начинается утро вторых суток, те сутки, что прошли – называются «вчера», а те сутки, которые наступают – «сегодня». После ночи сегодняшних суток – наступают сутки, которые называются «завтра».

Ведем беседы на протяжении 3-х суток о каком-то ярком событии. В 1-ый день поход в театр связываем со словом «завтра»: «Мы завтра идем в театр», «Когда мы идем в театр?», «Куда мы идем завтра?». На 2-е сутки поход в театр связываем со словом «сегодня». На 3-и сутки – со словом «вчера».

Такие беседы повторяются несколько раз в году (о разных ярких событиях).

Упражнения с тремя картинками, на одной из которых изображено некоторое событие. Карточка с событием кладется в определенное место («сегодня» – в середину, «завтра» - справа, «вчера» - слева) и выясняется «Когда это происходит?» или дается задание «Положи карточку так, чтобы событие произошло «завтра».

Может быть организована парная игра: «Когда это было?»

После того, как дети хорошо усвоили последовательность дней недели, ежедневно проводится беседа: какой день недели сегодня, какой был вчера, какой будет завтра.

Обучение детей умению различать временные единицы и определять их последовательность. Понятия «неделя», «пора года», «месяц», «год».

усвоение последовательности дней недели. Их знакомят с тем, что сутки имеют свои названия, что семь суток составляют неделю. Каждый день недели имеет свое название. В неделе дни идут друг за другом в определенном порядке: понедельник, вторник, Среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье. Такая последовательность дней недели неизменна. Воспитатель рассказывает детям, что в названиях дней недели угадывается, какой день недели по счету: понедельник - день после недели, т. е. первый день после окончившейся недели, вторник - второй день недели, среда - середина недели.

Можно привлечь детей к определению происхождения названий: четверг - четвертый день недели, пятница - пятый. На разных занятиях можно отводить 1 -1,5 мин для повторения названий временных отрезков и дней недели. Для этого детям задают вопросы: какой сегодня день недели? Какой день недели будет завтра? Какой день был вчера? Закрепление и углубление временных представлений происходит в различных играх, которые используются на занятиях. Для «усвоения названий и последовательности дней недели также можно использовать игру.

Игра «Живая неделя». Семь детей у доски построились и пересчитались по порядку. Первый ребенок слева делает шаг вперед и говорит: «Я - понедельник. Какой день следующий?» Выходит второй ребенок и говорит: «Я - вторник. Какой день следующий?» Вся группа дает задание «дням недели», загадывает загадки, Они могут быть самые разные: например, назови день, который находится между вторником и четвергом, пятницей и воскресеньем, после четверга, перед понедельником и т. д. Назови все выходные дни недели. Назови дни недели, в которые люди трудятся. Усложнение игры в том, что играющие могут построиться от любого дня недели, например от вторника до вторника.

Когда дети усвоят названия и последовательность дней недели, они охотно начинают решать такие задачи: «На улице встретились два друга. «Приходи ко мне в гости»,- сказал Коля. «Спасибо,- ответил Петя.- Только в понедельник ко мне приезжает бабушка, а в среду я уезжаю отдыхать. Но я обязательно приду», В какой день придет Петя в гости к Коле?» Другая задача: «Сегодня среда, через один день будет праздник в детском саду. В каком день будет праздник?» или «Назови день недели, стоящий между четвергом и субботой».

Воспитатель может рассказать детям о том, как раньше определяли время. В старину, чтобы знать, сколько дней пройдет, люди обычно использовали такой способ. Они знали, что от восхода солнца до следующего восхода проходят сутки. Поэтому каж дое утро, т. е. на восходе солнца, они нанизывали камешек с отверстием (похожий на пуговицу) на травинку. Таким образом они определяли, много или мало дней прошло до какого-то события, например до сбора урожая.

Известен такой случай. Древний персидский царь оставил греков охранять мост. А сам со своим войском пошел в поход на врагов. Он вручил воинам, охранявшим мост, ремень, на котором были завязаны узлы. Каждый день воины должны были развязывать по узлу. Когда все узлы будут развязаны, воины могут возвращаться домой. Можно попробовать вместе с детьми использовать такой старинный способ усвоения времени: принести веревку с несколькими завязанными узлами и договориться, что каждый день в одно и то же время они будут развязывать один узел; когда все узлы будут развязаны, настанет праздник или интересная математическая викторина.

При усвоении временных представлений дети, как правило, не испытывают трудностей. Однако умение ориентироваться во временных понятиях обеспечивается повседневным соприкосновением с ними. Поэтому важно не только на занятиях по математике, но и на всех других и в повседневной жизни задавать детям вопросы: какой сегодня день недели? Какой будет завтра? Какой был вчера? Дети этой возрастной группы должны также знать, в какой день недели проходит то или иное занятие.

«Геометрические

фигуры

и их свойства»

Электронный справочник

Составила: Касьянова Т.В.

Учитель математики и информатики

МОУ «СОШ №3 г. Зеленокумска»

Узнай меня

Простейшие геометрические фигуры

Прямая

• Определение

, а

• Обозначение:

АВ или ВА

а

Прямая

• Точки, принадлежащие прямой.

• Точки, не принадлежащие прямой.

Прямая

• Прямые, пересекающие прямую а

b

k

а

c

• Прямые, не пересекающие прямую а

Отрезок

• Определение

• Обозначение:

CD или DC

Отрезок

• Точки, принадлежащие отрезку АВ

• Точки, не принадлежащие отрезку АВ

m

n

• Прямые, пересекающие отрезок АВ

• Прямые, не пересекающие отрезок АВ

• Определение

• Обозначение:

• Точки, принадлежащие лучу KL

• Точки, не принадлежащие лучу KL

• Лучи, пересекающие луч KL

• Лучи, не пересекающие луч KL

Координатный луч

• Определение

• Координаты точек

Треугольник

Треугольник - простейшая плоская фигура. Три вершины и три стороны. Изучение треугольника породило науку – тригонометрию. Эта наука возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт на местности, конструировании машин и механизмов.

Первое упоминание о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах,

которым более 4000лет,а через 2000 лет - в древней Греции.

Виды треугольников по углам

Тупоугольный

треугольник

Остроугольный

треугольник

Прямоугольный

треугольник

Виды треугольников по сторонам

Разносторонний треугольник

Отрезки треугольника

• Медиана треугольника

• Высота треугольника

• Биссектриса треугольника

• Проверочные задания

Треугольники

• Признаки равенства треугольников

• Признаки подобия треугольников

• Решение задач

• Признаки равенства прямоугольных треугольников

Прямоугольные треугольники

Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным.

Каждый из таких треугольников называют прямоугольным.

Тупоугольные треугольники

Треугольник, у которого есть тупой угол, называется тупоугольным.

Это – тупоугольные треугольники.

Остроугольные треугольники

Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным.

Это – остроугольные треугольники

4. Равнобедренные треугольники

Треугольник, у которого есть равные стороны, называется равнобедренным.

Каждый из таких треугольников - равнобедренный.

Равносторонние треугольники

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним

Это равносторонние треугольники

Разносторонние треугольники

Треугольник, у которого все стороны имеют разную длину, называется разносторонним

Это разносторонние треугольники

Медиана треугольника

• Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

• Любой треугольник имеет

три медианы.

• В треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника

• Перпендикуляр проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

• Любой треугольник имеет три высоты.

• В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника

• Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

• Любой треугольник имеет три биссектрисы.

• В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

На каком рисунке изображена медиана треугольника?

На каком рисунке изображена высота?

На каком рисунке изображена биссектриса?

свойства

равнобедренного

треугольни ка

в 1,5 раза больше ER

на 3см меньше МК

Найдите равнобедренные треугольники

Сформулируйте признак равенства треугольников, который изображен на рисунке

Первый признак равенства треугольников

и углу между ними)

(по двум сторонам

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

назад

Второй признак равенства треугольников

и двум прилежащим к ней углам)

(по стороне

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

назад

Третий признак равенства треугольников

(по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

назад

Такого признака равенства треугольников не существует

Это подобие

назад

Работа над ошибками

Верно ли доказано равенство треугольников?

Задачи с практическим содержанием

Задача

Лежащий на полу ковер прямоугольной формы, сложили по диагонали.

Выполнив измерения,

указанные на рисунке.

Саша быстро восстановил

размеры ковра. Как он это сделал?

AF = 4м, EF = 3 м

Задача

Докажите равенство

∆ AFE и ∆ CDE.

Указания к решению задач с практическим содержанием

Задача

Докажите равенство

∆ AFE и ∆ CDE.

Самостоятельная работа

Найдите на рисунках равные треугольники и докажите их равенство

Прямоугольный треугольник

катет

гипотенуза

катет

Прямоугольный треугольник

1 признак. По двум катетам

Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

2 признак. По катету и гипотенузе

Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

3 признак. По катету и прилежащему острому углу

Прямоугольный треугольник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

4 признак. По гипотенузе и острому углу

Сформулируйте признак подобия треугольников, который изображен на рисунке

Первый признак подобия треугольников

(по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

назад

Второй признак подобия треугольников

(по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

назад

Третий признак подобия треугольников

(по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

назад

Четырехугольник

Четырехугольник – фигура, состоящая из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки – пересекаться.

Выпуклость

Четырехугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Выпуклый

Невыпуклый

Виды выпуклых четырехугольников

Трапеция

Параллелограмм

Ромб

Прямоугольник

Квадрат

Площади плоских фигур:

• Определение площади

• Свойства площадей

• Формулы площадей четырёхугольников

• Закрепление материала

Параллелограмм

Определение:

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

Свойства параллелограмма

1)Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2)У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Признаки параллелограмма:

1) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2) Если в четырехугольнике две стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Прямоугольник

Определение:

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства

прямоугольника

Свойства прямоугольника:

• Свойства параллелограмма.
• Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника:

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб

Определение:

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

Свойства ромба:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат

Определение:

1)Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

2)Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые.

• Свойства квадрата

Свойства квадрата

• У квадрата все углы прямые.

2) Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Боковая сторона

Боковая сторона

Трапеция

Основание

Определение:

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Основание

Виды трапеций

Произвольная

Равнобедренная

Прямоугольная

Понятие площади

• Что принимают за единицу измерения площади?
• В каких единицах измеряется площадь?
• Чем выражается площадь многоугольника, что показывает это число?

Свойства площадей

• Равные многоугольники имеют равные площади
• Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
• Площадь квадрата равна квадрату его стороны

1 свойство

то S(F1)=S(F2)

2 свойство

S(F)=S(F1)+S(F2)+S(F3)

3 свойство

S квадрата = a 2

Площади геометрических фигур

S = a x h

Ко всем четырехугольникам подберите формулы для вычисления их площади

Формулы для вычисления площади

Четырехугольники

• Квадрат

• Прямоугольник

• Параллелограмм

• Трапеция

• Треугольник

Определение - это первичное описание объекта.

Примеры определений

Смежные углы - это такие углы, которые дополняют друг друга на 180 0 .

Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны.

Также встречаются и такие варианты этого определения:

Равнобедренный треугольник - это треугольник, в котором две стороны равны между собой.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным .

Ключевые слова: это, называют.

У свойства особенность в том, что объект уже дан (например, мы его видим), его не нужно описывать, а нужно указать его свойства на основе увиденного.

Например «стол», его определение - предмет мебели в виде широкой горизонтальной пластины на опорах, ножках. А, видя его, можно указать на его свойства (рис. 1): он имеет четыре ножки, прямоугольной формы и т. д. На рисунке 2 изображен также стол по определению, но свойства у него немного другие: круглая форма, цилиндрические ножки и т. д.

Рис. 1. Стол

Рис. 2. Стол

Свойства равнобедренного треугольника

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

Мы знаем, что этот треугольник равнобедренный, исходя из рисунка 3, указываем на его свойства: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.

Определение и свойство прямоугольника

Рис. 4. Прямоугольник

Определение: прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые.

А когда прямоугольник дан (рис. 4), мы можем указать свойство - у прямоугольника диагонали равны.

Признак отличается от свойства тем, что в свойстве фигура дана и мы говорим о ней, а в признаке нам не дана фигура и мы ее распознаем.

Например:

Известен признак животного - хобот. Можно предположить, что это слон.

А если известно, что животное - слон, то свойством его будет наличие хобота. Так же и в геометрии.

Свойства и признак равнобедренного треугольника

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

Свойство: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В этом случае дан треугольник (рис. 5).

Признак: если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный. В этом случае мы не знаем, что этот треугольник равнобедренный, но, зная, что углы при основании равны, делаем вывод, что треугольник равнобедренный.

В свойстве объект уже дан и мы определяем его характеристики, в признаке мы пытаемся определить объект с помощью каких-то характеристик, а определение дает первичное понимание, что это за объект.

Свойство: у слона есть хобот.

Признак: если у животного есть хобот, то это слон.

Признак: если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.

Свойство: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство: если треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.

Признак: если в треугольнике высота совпала с медианой, то треугольник равнобедренный.

Не всегда пары признак-свойство выполняются на практике.

Рассмотрим это на геометрическом примере.

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Свойство: смежные углы в сумме дают 180 0

Аналогичный признак: если углы в сумме дают 180 0 , то они смежные. Это не верно! Можно доказать отложив в разных местах углы как на рисунке 7. Эти углы не будут смежными.

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Следует помнить, что свойства и признаки не всегда идут парами.

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Вопрос: почему в равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой (рис. 8)?

Ответ: по определению.

Вопрос: почему в равнобедренном треугольнике углы при основании равны?

Ответ: по свойству. Потому что мы знаем, что это за треугольник.

Вопрос: почему если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный?

Ответ: по признаку. В данном случае не дано, что треугольник равнобедренный.

Сегодня на уроке мы разобрали разницу между определениями, признаками и свойствами. Вспомним. Определение - это первичное понимание того, что за объект перед нами. Свойство - это когда дан объект и мы его изучаем. Признак состоит в том, что объект не дан и мы пытаемся его выделить из общей массы.

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. - 5-е изд. - М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. - М.: Просвещение, 2010.

1. Slovo.ws ().
2. Festival.1september.ru ().

Домашнее задание

1. Определите четырехугольник по признаку. Его диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
2. Какие признаки параллелограмма указывают на то, что он является прямоугольником?
3. Изучите определения, свойства и признаки таких геометрически фигур как равнобокая трапеция, прямоугольник, ромб, параллелограмм.